已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）到直線L：x=4的距離是它到點(diǎn)N（1，0）的距離的2倍．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）過點(diǎn)P（0，1）的直線m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若
AP
=2
PB
，求直線m的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到直線L：x=4的距離是它到點(diǎn)N（1，0）的距離的2倍，建立方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)m的方程為：y=kx+1代入
x2
4
+
y2
3
=1，得：3x2+4（k2x2+2kx+1）=12，利用韋達(dá)定理，結(jié)合
AP
=2
PB
，即可求直線m的方程．
解答： 解：（1）由已知得：|x-4|=2
(x-1)2+y2

兩邊平方：x2-8x+16=4（x2-2x+1+y2）
整理為：3x2+4y2=12
所以軌跡C的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1…（4分）
（2）當(dāng)m⊥x軸時(shí)，|AP|=
3
+1，|PB|=
3
-1或|AP|=
3
-1，|PB|=
3
+1
此時(shí)，
AP
=2
PB
都不成立．
所以可設(shè)m的方程為：y=kx+1
代入
x2
4
+
y2
3
=1，得：3x2+4（k2x2+2kx+1）=12
整理為：（3+4k2）x2+8kx-8=0-----*
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
則 
x1+x2=
-8k
3+4k2
------①
x1x2=
-8
3+4k2
-------②

又由 
AP
=2
PB
得（-x1，1-y1）=2（x2，y2-1）∴-x1=2x2---------------③
聯(lián)立①，③并解之得：
x1=
-16k
3+4k2
x2=
8k
3+4k2

代入②：
-16×8k2
(3+4k2)2
=
-8
3+4k2

化為16k2=3+4k2，k2=
1
4
∴k=±
1
2

經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)方程*的判別式△＞0．
所以直線m的方程為：y=
1
2
x+1或y=-
1
2
x+1…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求它的軌跡方程并依此求直線與橢圓的位置關(guān)系．著重考查了兩點(diǎn)的距離公式、直線的方程和直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知隨機(jī)變量X-N（2，a），若P（x＜a）=0.32，則P（x＞4-a）=（　　）
A、0.32B、0.36
C、0.64D、0.68

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓G：
x2
4
+y2=1．過x軸上的動(dòng)點(diǎn)P（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓G上的點(diǎn)到直線x-2y+1=0的最大距離；
（Ⅱ）①當(dāng)實(shí)數(shù)m=1時(shí)，求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
②將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-2，0）、F2（2，0），點(diǎn)P（3，
7
）在雙曲線C上．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過雙曲線C的右焦點(diǎn)的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
2x+3
3x
（x＞0），數(shù)列{an}滿足a1=1，an=f（
1
an-1
）（n∈N*，且n≥2）．
（1）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n-1anan+1，若Tn≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解方程：x
3
4
=2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
2
-
1
ex
-ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=
3
2
時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象通過原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=-2n，（n∈N*）．f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f′（0）=2n，（n∈N*）．
（1）求f（x）的表達(dá)式（含有字母n）；
（2）若數(shù)列{an}滿足an+1=f′（an），且a1=4，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）條件下，若bn=n•2 
an+1-an
2
，Sn=b1+b2+…+bn，是否存在自然數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)n•2n+1-Sn＞50恒成立？若存在，求出最小的M；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸距離大1．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)A、B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M（4、0），求|AB|的最大值．

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