Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

（x＞0），數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=f（

1

an-1

）（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²對n∈N^*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題

分析：（1）由an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

， (n∈N*，且n≥2)，知an-an-1=

2

3

，可得結(jié)論；
（2）由（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）分n=2m與n=2m-1討論可得，Tn=

- 1 9 (2n2+6n)，n為偶數(shù) 1 9 (2n2+6n+7)，n為奇數(shù)

，由此計算能導(dǎo)出實數(shù)t的取值范圍．

解答： （1）證明：因為an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

， (n∈N*，且n≥2)，
所以an-an-1=

2

3

．…（2分）
因為a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為

2

3

的等差數(shù)列．
（2）解：因為數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為

2

3

的等差數(shù)列，
所以an=

2n+1

3

．…（4分）
（3）解：①當(dāng)n=2m，m∈N^*時，Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)2m-1a2ma2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-

4

3

(a2+a4+…+a2m)=-

4

3

×

a2+a2m

2

×m=-

1

9

(8m2+12m)=-

1

9

(2n2+6n)．…（6分）
②當(dāng)n=2m-1，m∈N^*時，Tn=T2m-1=T2m-(-1)2m-1a2ma2m+1=-

1

9

(8m2+12m)+

1

9

(16m2+16m+3)=

1

9

(8m2+4m+3)=

1

9

(2n2+6n+7)．…（8分）
所以Tn=

- 1 9 (2n2+6n)，n為偶數(shù) 1 9 (2n2+6n+7)，n為奇數(shù)

要使Tn≥tn2對n∈N^*恒成立，
只要使-

1

9

(2n2+6n)≥tn2，(n為偶數(shù))恒成立．
只要使-

1

9

(2+

6

n

)≥t，對n為偶數(shù)恒成立，
故實數(shù)t的取值范圍為(-∞，-

5

9

]．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．解題時要注意公式的合理運用．