Question

已知集合A={f（x）|f²（x）﹣f²（y）=f（x+y）•f（x﹣y），x、y∈R}，有下列命題：

①若f（x）=，則f（x）∈A；

②若f（x）=kx，則f（x）∈A；

③若f（x）∈A，則y=f（x）可為奇函數(shù)；

④若f（x）∈A，則對任意不等實數(shù)x₁，x₂，總有成立．

其中所有正確命題的序號是　______　．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

②③.

【解析】①令x≥y≥0，f²（x）﹣f²（y）=0而f（x+y）f（x﹣y）=1，∴①錯誤的；

②當f（x）=kx時，f²（x）﹣f²（y）=k²x²﹣k²y²=k（x﹣y）•k（x+y）=f（x+y）•f（x﹣y）成立，∴②正確．

③令x=y=0可得f（0）=0；再令x=0，有f²（0）﹣f²（y）=f（y）f（﹣y）即f（y）（f（y）+f（﹣y））=0，

則有f（y）=0或f（﹣y）=﹣f（y），因此f（x）為奇函數(shù)，∴③正確；

④如函數(shù)f（x）滿足條件：成立．則函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，

由②知當y=kx時，滿足條件，但當k＞0時，函數(shù)y=kx為增函數(shù)，∴④不滿足條件，故∴④錯誤．

故答案為：②③