Question

已知曲線f（x）=ax-e^x（a＞0）．
（Ⅰ）求曲線在點（0，f（0））處的切線；
（Ⅱ）若存在實數x₀使得f（x₀）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，得到f′（0）的值，再求出點的坐標，由點斜式得到切線方程；
（Ⅱ）由導函數的符號確定函數的單調區(qū)間，從而求得函數的最大值，由最大值大于等于0求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax-e^x（a＞0），
∴f（0）=-1，則切點為（0，-1）．
f′（x）=a-e^x，f′（0）=a-1，
∴曲線在點（0，f（0））處的切線方程為：y=（a-1）x-1；
（Ⅱ）∵a＞0，由f′（x）＞0得，x＜lna，
由f′（x）＜0得，x＞lna，
∴函數f（x）在（-∞，lna）上單調遞增，在（lna，+∞）上單調遞減，
∴f（x）的最大值為f（lna）=alna-a．
∵存在x₀使得f（x₀）≥0，
∴alna-a≥0，
∴a≥e．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．