Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=2，P為線段AD（含端點(diǎn)）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．設(shè)

AP

=x

AD

，

PB

•

PC

=y，記y=f（x），則f（1）=

 

； 函數(shù)f（x）的值域?yàn)?div id="117hp7r" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：畫出圖形，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出

AP

、

AD

、

PB

、

PC

；求出

PB

•

PC

的值，即得y=f（x）的解析式；求出y的最值，即得f（x）的值域．

解答： 解：如圖，建立直角坐標(biāo)系；
設(shè)點(diǎn)P（a，b），則-2≤a≤-1；
∴

AP

=（a+2，b），

AD

=（1，2）；

PB

=（-a，-b），

PC

=（-a，2-b）；
又∵

AP

=x

AD

，
∴

a+2=x b=2x

，
即

a=x-2 b=2x

，（其中0≤x≤1）；
∴

PB

•

PC

=（-a，-b）•（-a，2-b）
=a²-b（2-b）
=（x-2）²-2x•（2-2x）
=5x²-8x+4；
即y=f（x）=5x²-8x+4，其中0≤x≤1；
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=f（1）=5-8+4=1；
當(dāng)x=-

-8

2×5

=

4

5

時(shí)，y取得最小值f（

4

5

）=

4

5

，
當(dāng)x=0時(shí)，y取得最大值f（0）=4；
∴f（x）的值域是[

4

5

，4]．
故答案為：1，[

4

5

，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用以及函數(shù)解析式的求法和求函數(shù)的值域問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形解答問(wèn)題，是綜合題．