Question

在平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（cosωx，sinωx），其中a²+b²≠0且ω＞0．設f（x）=

OA

•

OB

．
（Ⅰ）若a=

3

，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在區(qū)間[0，π]內的解集；
（Ⅱ）根據本題條件我們可以知道，函數(shù)f（x）的性質取決于變量a、b和ω的值．當x∈R時，試寫出一組a，b，ω值，使得函數(shù)f（x）滿足“圖象關于點（

π

3

，0）對稱，且在x=

π

6

處f（x）取得最小值”．（請說明理由）

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：平面向量及應用

分析：（1）由題意可得當a=

3

，b=1，ω=2時，由f（x）=1，可得sin（2x+

π

3

）=

1

2

，可得2x+

π

3

=2kπ+

π

6

，或2x+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈z．再結合x∈[0，π]求得f（x）=1在[0，2π]內的解集．
（2）由f（x）=

OA

•

OB

=

a2+b2

sin（ωx+φ），設周期 T=

2π

ω

．由題意可得

π

3

-

π

6

=

T

4

+

n

2

T，即ω=6n+3，n∈N，由條件求得 a=0，

b

|b|

=±1．再分（i）當 b＞0，a=0時、（ii）當b＜0 a=0時兩種情況，分別求得一組a，b，ω值，從而得出結論．

解答： 解：（1）由題意可得f（x）=

OA

•

OB

=a•cosωx+b•sinωx，
當a=

3

，b=1，ω=2時，由f（x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）=1，
可得sin（2x+

π

3

）=

1

2

，2x+

π

3

=2kπ+

π

6

，k∈z，或2x+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈z．
求得 x=kπ-

π

12

，或 x=kπ+

π

4

，k∈z．
又因為x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]，故f（x）=1在[0，2π]內的解集為{

π

4

，

11π

12

}．
（2）解：因為f（x）=

OA

•

OB

=

a2+b2

sin（ωx+φ），設周期 T=

2π

ω

．
由于函數(shù)f（x）須滿足“圖象關于點（

π

3

，0）對稱，且在x=

π

6

處f（x）取得最小值”．
因此，根據三角函數(shù)的圖象特征可知，

π

3

-

π

6

=

T

4

+

n

2

T，
故有

π

6

=

2π

ω

•

2n+1

4

，∴ω=6n+3，n∈N，
又因為，形如f（x）=

a2+b2

sin（ωx+φ）的函數(shù)的圖象的對稱中心都是f（x）的零點，
故需滿足 sin（

π

3

ω+φ）=0，而當ω=6n+3，n∈N時，
因為

π

3

（6n+3）+φ=2nπ+π+φ，n∈N；所以當且僅當φ=kπ，k∈Z時，
f（x）的圖象關于點（

π

3

，0）對稱；此時，

sinφ= a a2+b2 =0 cosφ= b a2+b2 =±1

，
∴a=0，

b

|b|

=±1．
（i）當 b＞0，a=0時，f（x）=sinωx，進一步要使x=

π

6

處f（x）取得最小值，
則有f（

π

6

）=sin（

π

6

•ω）=-1，∴

π

6

•ω=2kπ-

π

2

，故ω=12k-3，k∈z．
又ω＞0，則有ω=12k-3，k∈N^*；
因此，由

ω=6n+3 ，n∈N ω=12k-3， k∈N

可得ω=12m+9，m∈N．
（ii）當b＜0 a=0時，f（x）=-sinωx，進一步要使x=

π

6

處f（x）取得最小值，
則有f（

π

6

）=-sin（

π

6

•ω）=-1 （

π

6

•ω）=2kπ+

π

2

ω=12k+3 k∈z；
又ω＞0，則有ω=12k+3，k∈N．
因此，由

ω=6n+3 ，n∈N ω=12k+3  ，k∈N

可得ω=12m+3，m∈N．
綜上，使得函數(shù)f（x）滿足“圖象關于點（

π

3

，0）對稱，且在x=

π

6

處f（x）取得最小值
的充要條件是“b＞0，a=0時，ω=12m+9，m∈N；或 當b＜0 a=0時，ω=12m+3，m∈N”．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換、正弦函數(shù)的圖象的對稱性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．