Question

點A（1，2）到拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的距離為2，過T（3，-2）的動直線l與此拋物線交于P、Q兩點
（1）求拋物線的標準方程；
（2）證明：直線AP與直線AQ的斜率之積恒為定值
（3）是否存在以PQ為底邊的等腰△AQP？若存在，說出這樣的等腰三角形的個數，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得AF=1+

p

2

=2，由此能求出拋物線方程．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ：x=m（y+2）+3，由

x=m(y+2)+3 y2=4x

，得y²-4my-8m-12=0，由此能證明線AP與直線AQ的斜率之積恒為定值．
（3）PQ的中點M坐標為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）=（2m²+2m+3，2m），若以PQ為底邊的△AQP為等腰三角形，則m³+m²+2m-1=0，由此利用零點存在定理能求出存在以PQ為底邊的等腰△AQP，這樣的等腰三角形只有一個．

解答： （1）解：∵點A（1，2）到拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（

p

2

，0）的距離為2，
∴AF=1+

p

2

=2，解得p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x．…（4分）
（2）證明：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
設直線PQ：x=m（y+2）+3，
由

x=m(y+2)+3 y2=4x

，得y²-4my-8m-12=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8m-12，
k_AP•k_AQ=

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=

(y1-2)(y2-2)

( y12 4 -1)( y22 4 -1)

=

4

y1+2

•

4

y2+2

=

16

2(y1+y2)+y1y2+4

=

16

8m+(-8m-12)+4

=-2，
∴直線AP與直線AQ的斜率之積恒為定值-2．…（9分）
（3）解：PQ的中點M坐標為：
（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）=（

y12 4 + y22 4

2

，

y1+y2

2

）=（2m²+2m+3，2m），
若以PQ為底邊的△AQP為等腰三角形，
則PQ的垂直平分線過A點，
∴k_AM•k_PQ=-1，
∴

2m-2

2m2+2m+3-1

•

1

m

=-1，
整理，得m³+m²+2m-1=0，
設f（m）=m³+m²+2m-1，
f′（m）=3m²+2m+2=3（m+

1

3

）²+

5

3

＞0，
∴f（m）為增函數，且f（0）=-1＜0，f（1）=3＞0，
∴f（m）在（0，1）有一個零點，
∴m³+m²+2m-1=0只有一個根，
∴存在以PQ為底邊的等腰△AQP，這樣的等腰三角形只有一個．…（14分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查兩直線斜率乘積為定值的證明，考查滿足條件的等腰三角形是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意零點存在定理的合理運用．