Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．

(1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)

Answer 1

解：(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時，設(shè)v(x)＝ax＋b，

再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－，b＝.

故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為

(2)依題意并由(1)可得

.

當(dāng)0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時，其最大值為60×20＝1200；

當(dāng)20≤x≤200時，≤，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時，等號成立．

所以，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值.

綜上，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333，

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時 ，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時．