對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（數(shù)學(xué)公式）＞數(shù)學(xué)公式[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（1）f（x）不是其定義域上的凸函數(shù)．
f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x1≠x2，則
f（）-[f（x1）+f（x2）]=a-（a-a）=-＜0，
∴f（）＜[f（x1）+f（x2）]，
∴f（x）不是其定義域上的凸函數(shù)
（2）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f（x）在（0，+∞）內(nèi)是凸函數(shù)，
∴f（）＞[f（x1）+f（x2）]，
即＞（logax1+logax2）=①
∵x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，
∴-x1x2=＞0，即＞
故要①成立，則a＞1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）
分析：（1）根據(jù)凸函數(shù)的定義，作差f（）-[f（x1）+f（x2）]判斷即可；
（2）依題意，f（）＞[f（x1）+f（x2）]?＞，通過比較其真數(shù)的大小即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查作差法，著重考查推理證明的邏輯思維能力，屬于難題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•奉賢區(qū)一模）若對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”．有下列關(guān)于“λ-伴隨函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”；
②f（x）=x不是“λ-伴隨函數(shù)”；
③f（x）=x2是“λ-伴隨函數(shù)”；
④“
1
2
-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。﹤�(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（）＞[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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