Question

【題目】己知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)的最小值為-1，，數(shù)列滿足，，記，表示不超過(guò)的最大整數(shù)．證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析; （Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】分析：（Ⅰ）函數(shù)求導(dǎo)，討論和兩種情況即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)的最小值點(diǎn)為，得，令，進(jìn)而得，則由歸納可猜想當(dāng)時(shí)，，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得，于是，，則，從而利用裂項(xiàng)相消法可得證.

詳解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

1、當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)；

2、當(dāng)時(shí)，令得，即在上為增函數(shù)；

同理可得在上為減函數(shù).

（Ⅱ）有最小值為-1，由（Ⅰ）知函數(shù)的最小值點(diǎn)為，

即，則，

令，

當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)

∵，∴.（未證明，直接得出不扣分）

則.由得，

從而.∵，∴.

猜想當(dāng)時(shí)，.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

1、當(dāng)時(shí)，猜想正確.

2、假設(shè)時(shí)，猜想正確.

即時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，有，

由（Ⅰ）知是上的增函數(shù)，

則，即，

由得.

綜合1、2得：對(duì)一切，猜想正確.

即時(shí)，.

于是，，則.

故