Question

已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)f（x-1）的所有零點(diǎn)之和為（　　）

• A、0
• B、8
• C、4
• D、無法確定

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，知其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，與x軸有四個(gè)交點(diǎn)自然也關(guān)于y軸對(duì)稱，再判斷出函數(shù)f（x-1）的圖象與x軸也有四個(gè)交點(diǎn)，將“x-1”作為一個(gè)整體，根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱求出所有零點(diǎn)之和．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
又其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，所以四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
且函數(shù)f（x-1）的圖象與x軸也有四個(gè)交點(diǎn)，
則不妨設(shè)函數(shù)f（x-1）的四個(gè)零點(diǎn)，即圖象與x軸四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，x₃，x₄，
則根據(jù)對(duì)稱性可知（x₁-1）+（x₂-1）+（x₃-1）+（x₄-1）=0，
則x₁+x₂+x₃+x₄=4，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，偶函數(shù)的性質(zhì)，以及整體思想，掌握好偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．