Question

已知函數(shù)，函數(shù)．

⑴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最大值；

⑵當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑶函數(shù)的圖象能否恒在函數(shù)的圖象的上方？若能，求出的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

⑴,

由一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知兩圖象相切時(shí)取最大值，                  ……1分

設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，

, 即實(shí)數(shù)的最大值為；             ……4分

  ⑵，

    即原題等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，         ……5分

，

在遞增且，在遞減且，

時(shí)，無(wú)公共點(diǎn)，

時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，

時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；                                       ……9分

  ⑶函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，

    即在時(shí)恒成立，                                     ……10分

①時(shí)圖象開(kāi)口向下，即在時(shí)不可能恒成立，

②時(shí)，由⑴可得，

時(shí)恒成立，時(shí)不成立，

③時(shí)，

若則，由⑵可得無(wú)最小值，故不可能恒成立，

    若則，故恒成立，

    若則，故恒成立，              ……15分

綜上，或時(shí)

函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方．