Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+3（a²+a）lnx-8ax
（Ⅰ）若x=3是f（x）的一個極值點求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其導函數(shù)f（x）′的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4(x-a)2-a2+3a

x

，則f′（3）=4（3-a）²-a²+3a=0，驗證求a；
（II）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

，討論f′（x）的單調(diào)性，從而求解．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

=

4(x-a)2-a2+3a

x

，
∵x=3是f（x）的一個極值，
∴f′（3）=4（3-a）²-a²+3a=0，
解得，a=4或a=3；
而當a=3時，f′（x）≥0，故不成立，
當a=4時，滿足條件，
故a=4．
（II）f′（x）=4x+

3(a2+a)

x

-8a=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

設g（x）=4x²-8ax+3（a²+a），△=16（a²-3a），
設g（x）=0的兩根為x₁，x₂，（x₁＜x₂），
（1）當△≤0，即0≤a≤3時，
∴f（x）單調(diào)遞增，滿足題意；
（2）當△＞0，即a＜0或a＞3時，
①若x₁＜0＜x₂，則

3

4

（a²+a）＜0，即-1＜a＜0，
此時，f（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，
在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
而f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故不滿足題意，
②若x₁＜x₂≤0，則

2a＜0 3 4 (a2+a)≥0

，
解得a≤-1，
此時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，滿足題意；
③若0＜x₁＜x₂，則

2a＞0 3 4 (a2+a)＞0

，
則a＞0，
此時，f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，不滿足題意；
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，-1]∪[0，3]．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．