Question

已知函數(shù)f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b，（b∈R），h（x）=f（x）-

1

f(x)

．
（1）判斷h（x）的奇偶性并證明．
（2）對(duì)任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得f（x）≤f（x₁），g（x）≤g（x₂），若f（x₁）=g（x₂），求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷證明即可．．
（2）利用對(duì)任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得f（x）≤f（x₁），說(shuō)明f（x₁）是最大值，g（x）≤g（x₂），通過(guò)f（x₁）=g（x₂），即可求實(shí)數(shù)b的值．

解答： 解：（1）函數(shù)h（x）=2^x-

1

2x

為奇函數(shù)，現(xiàn)證明如下：
∵h(yuǎn)（x）定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又h（-x）=2^-x-

1

2-x

=

1

2x

-2^x=-h（x），
∴h（x）=2^x-

1

2x

為奇函數(shù)．
（2）由題意知f（x₁）=f（x）_max，
由f（x）=2^x在[1，2]上遞增
∴f（x₁）=4，又∵g（x₂）=g（x）_max且g（x）=-x²+2x+b在[1，2]遞增，
g（x₂）=g（1）=1+b，
∴f（x₁）=g（x₂），
∴1+b=4，∴b=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)最值的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．