已知三點(diǎn)A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若向量
OA
+k
OB
+(2-k)
OC
=
O
(k為常數(shù),且0<k<2),求cos(β-γ)最大值,最小值,以及相應(yīng)的k值.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析:由向量
OA
+k
OB
+(2-k)
OC
=
O
(k為常數(shù),且0<k<2),可得-
OA
=k
OB
+(2-k)
OC
,利用向量的運(yùn)算性質(zhì)即可得到cos(β-γ)=
2k2-4k+3
2k2-4k
,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可.
解答: 解:∵A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),
|
OA
|=
cos2α+sin2α
=1,同理可得|
OB
|=|
OC
|=1

OB
OC
=cosβcosγ+sinβsinγ=cos(β-γ).
∵向量
OA
+k
OB
+(2-k)
OC
=
O
(k為常數(shù),且0<k<2),
-
OA
=k
OB
+(2-k)
OC
,
OA
2
=k2
OB
2
+(2-k)2
OC
2
+2k(2-k)
OB
OC
=k2+(2-k)2+2k(2-k)cos(β-γ),
∴1=2k2-4k+4+(4k-2k2)cos(β-γ),
∴cos(β-γ)=
2k2-4k+3
2k2-4k
,
令f(k)=
2k2-4k+3
2k2-4k
,(0<k<2).
∴f′(k)=
3(1-k)
k2(2-k)2
,
當(dāng)0<k<1時(shí),f′(k)>0,函數(shù)f(k)單調(diào)遞增;當(dāng)1<k<2時(shí),f′(k)<0,函數(shù)f(k)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)k=1時(shí),函數(shù)f(k)取得最大值,f(1)=-
1
2

無最小值.
點(diǎn)評(píng):本題考查了向量的運(yùn)算性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值,考查了計(jì)算能力,屬于難題.
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1
f(x)

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已知向量
a
=(sinx,1),
b
=(1,cosx),-
π
2
<x<
π
2

(1)若x=-
π
3
時(shí),求
a
b
的值.;
(2)求|
a
+
b
|的最大值.

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1
2
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在四棱錐P-ABCD中,地面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ABC=
π
2
,AB=BC=
1
2
AD=2,PA=PB=PA=
6
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(1)證明:CD⊥AE;
(2)求直線PB與平面PAD所成角的正弦值.

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