Question

已知定點(diǎn)、，動點(diǎn)，且滿足、、

成等差數(shù)列.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若曲線的方程為，過點(diǎn)的直線與曲線相切，

求直線被曲線截得的線段長的最小值.

 

Answer 1

（1）：（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用題中的條件得到橢圓的定義，求出橢圓的實(shí)軸長與焦距，然后利用、、之間的關(guān)

系求出的值，從而確定點(diǎn)的軌跡的方程；（2）先設(shè)直線的方程為，利用直線與圓

相切，結(jié)合確定和之間的等量關(guān)系，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)

間的距離公式求出弦長的表達(dá)式，利用換元法將弦長表達(dá)式進(jìn)行化簡，并利用函數(shù)單調(diào)性求出弦長的最小

值.

（1）由、， ，

根據(jù)橢圓定義知的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，

其長軸，焦距，短半軸，故的方程為.

（2）過點(diǎn)與軸垂直的直線不與圓相切，故可設(shè):，

由直線與曲線相切得，化簡得，，

由，解得，

聯(lián)立，消去整理得，

直線被曲線截得的線段一端點(diǎn)為，設(shè)另一端點(diǎn)為，

解方程可得，

有，

令，則，，

考查函數(shù)的性質(zhì)知在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以時，取最大值，從而.

考點(diǎn)：1.橢圓的定義與方程；2.直線與圓的位置關(guān)系；3.直線與橢圓的位置關(guān)系；4.兩點(diǎn)間的距離