Question

已知點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁x₂≠0)是拋物線y²=2px(p＞0)上的兩個動點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量,滿足|+|=|-|,設(shè)圓C的方程為x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

(Ⅰ)證明線段AB是圓C的直徑；

(Ⅱ)當(dāng)圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為時，求p的值.

Answer 1

(Ⅰ)證法一：∵｜+｜=｜-｜，

∴(+)²=(-)²，∴-=0

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

    設(shè)點(diǎn)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則·=0.

    即(x-x₁)·(x-x₂)+(y-y₁)·(y-y₂)=0.整理得x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

    故線段AB是圓C的直徑.

證法二：∵｜+｜=｜+｜，∴(+)²=(-)²，即·=0

∴x₁x₂+y₁y₂=0,

    若點(diǎn)M(x,y)在以線段為直徑的圓上，則·=-1(x≠x₁,x≠x₂)去分母得(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0.

    展開得x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0,

    所以線段AB是圓C的直徑.

證法三：∵｜+｜=｜+｜，∴+=0,∴x₁x₂+y₁y₂=0,

    以AB為直徑的圓的方程是：(x-)²+(y-)²=［(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²］,

    整理得x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

(Ⅱ)解法一：設(shè)圓C(x,y)，則∵=2px₁,=2px₂(p＞0).

∴x₁x₂=,又x₁x₂+y₁y₂=0,

∴x₁x₂=-y₁y₂,

∴-y₁y₂=,∵x₁x₂≠0,∴y₁y₂≠0,∴y₁y₂=-4p²,

∴x==(y²₁+)=(y²₁++2y₁y₂)-=(y²+2p²),

    所以圓心的軌跡方程為y²=px-2p²,

    設(shè)圓C到直線x-2y=0的距離為d,則

d==,當(dāng)y=p時，d有最小值;由題設(shè)得=,

∴p=2.

解法二：設(shè)圓C的圓心為C(x,y)，則,∵y²₁=2px₁,=2px₂,(p＞0)

∴x₁x₂=,又∵x₁x₂+y₁y₂=0,∴x₁x₂=-y₁y₂.

∵x₁x₂≠0,∴y₁y₂=-4p²,∵x==(+)=(++2y₁y₂)-=(y²+2p²),所以圓心的軌跡方程為y²=px-2p²,

    設(shè)直線x-2y+m=0與x-2y=0的距離為,則m=±2,

    因為x-2y+2=0與y²=px-2p²無公共點(diǎn)，

    所以當(dāng)x-2y-2=0與y²=px-2p²僅有一個公共點(diǎn)時，該點(diǎn)到x-2y=0的距離最小，最小值為,

∴消去x得，

y²-2py+2p²-2p=0有Δ=4p²-4(2p²-2p)=0.∵p＞0,∴p=2.

解法三：設(shè)圓C的圓C(x,y)，則,若圓心C到直線x-2y=0的距離為d,那么d=,

∵=2px₁,=2px₂(p＞0),

∴x₁x₂=,又x₁x₂+y₁y₂=0,∴x₁x₂=-y₁y₂,∵x₁x₂≠0,

∴y₁y₂=-4p²,∴d

=

=，當(dāng)y₁+y₂=2p時，d有最小值,由題意得=,∴p=2.