Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極大值、極小值；
（Ⅱ）過點（0，-16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）f′（x）=3ax²+2ax-3，由于函數(shù)f（x）在x=±1處取得極值，可得f′（1）=f′（-1）=0，即可解得a，b．分別解出f′（x）=0，f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性、極值．
（II）曲線f（x）=x³-3x，點（0，-16）不在曲線上．設切點為P（s，t），可得t=s³-3s．f′（s）=3（s²-1），切線方程為：y-t=3（s²-1）（x-s）．把點（0，-16）代入即可解出s．

解答： 解：（I）f′（x）=3ax²+2ax-3，
∵函數(shù)f（x）在x=±1處取得極值，
∴f′（1）=f′（-1）=0，即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，解得a=1，b=0．
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=±1，
當x∈（-∞，-1）∪（1，∞）時，f′（x）＞0，∴區(qū)間（-∞，-1），（1，∞）是函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞減．
∴f（x）的極大值為f（-1）=2，極小值為為f（-1）=-2．
（II）曲線f（x）=x³-3x，點（0，-16）不在曲線上．
設切點為P（s，t），則t=s³-3s．f′（s）=3（s²-1），
因此切線方程為：y-t=3（s²-1）（x-s）．
∵點（0，-16）在切線上，
∴-16-（s³-3s）=3（s²-1）（0-s），
化為s³=8，解得s=2，
∴切點為P（2，2），
故曲線方程為：9x-y-16=0．

點評：b本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、導數(shù)的幾何意義、切線的方程，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．