Question

對(duì)于函數(shù)f（x），定義域?yàn)镈，若存在x₀∈D使f（x₀）=x₀，則稱（x₀，x₀）為平衡點(diǎn)，若f（x）=

3x+a

x+b

（f（x）不為常數(shù)）的圖象上有兩個(gè)平衡點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a，b應(yīng)滿足的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令f（x）=

3x+a

x+b

=x，則

3x+a=x(x+b) x+b≠0

從而得到由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-（b-3）=0，△=（b-3）²+4a＞0，x₁•x₂=-a≠-b²；從而解得．

解答： 解：由題意得，
令f（x）=

3x+a

x+b

=x，
則

3x+a=x(x+b) x+b≠0

即x²+（b-3）x-a=0，
則由f（x）=

3x+a

x+b

（f（x）不為常數(shù)）的圖象上有兩個(gè)平衡點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知，
x₁+x₂=-（b-3）=0，△=（b-3）²+4a＞0，x₁•x₂=-a≠-b²；
則b=3；a＞0且a≠9；
故答案為：b=3；a＞0且a≠9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受與轉(zhuǎn)化能力，同時(shí)考查了分式方程的根的問題，屬于中檔題．