Question

已知直線3x+4y+5=0截圓C₁：x²+y²=r²所得弦長為6，M，N分別為橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左頂點和上頂點，C₂的離心率e=

2 3

3

，且|MN|等于圓C₁的半徑．
（1）求C₁和C₂的方程；
（2）過圓上任一點P向圓C₂引兩條切線，切點分別為A，B，判斷∠APB是否為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,作圖題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意求圓心到直線的距離，從而求半徑，再由|MN|=

a2+b2

=

10

，e=

2 3

3

=

a

c

，及a²=b²+c²求C₂的方程；
（2）分直線的斜率是否存在討論，不存在時可知為直角，故若為定值，則為直角，從而轉(zhuǎn)化為證明斜率之積為-1即可，故設(shè)直線的方程為y-

10

sina=k（x-

10

cosa），與橢圓方程聯(lián)立并令△=0，從而利用韋達定理可得．

解答： 解：（1）由題意，圓心到直線的距離d=

|5|

9+16

=1，
故r²=1²+3²=10，
故圓C₁：x²+y²=10，
由|MN|=

a2+b2

=

10

，e=

2 3

3

=

a

c

，及a²=b²+c²得，
a²=8，b²=2，c²=6，
故C₂的方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（2）設(shè)點P（

10

cosa，

10

sina），
若直線的斜率不存在時，即

10

cosa=±

8

時，

10

sina=±

2

，
故此時∠APB為直角，
若∠APB為定值，則∠APB為直角，
若直線的斜率存在，不妨設(shè)為k；
則直線的方程為y-

10

sina=k（x-

10

cosa），
與

x2

8

+

y2

2

=1聯(lián)立消y可得，
2x²+8（

10

sina+k（x-

10

cosa））²-16=0，
即2（1+4k²）x²+16

10

k（sina-kcosa）x+80（sina-kcosa）²-16=0，
則△=[16

10

k（sina-kcosa）]²-4[2（1+4k²）][80（sina-kcosa）²-16]=0，
即4k²-5（sina-kcosa）²+1=0
即（4-5cos²a）k²+10ksinacosa+1-5sin²a=0，
則k₁•k₂=

1-5sin2a

4-5cos2a

=

cos2a-4sin2a

4sin2a-cos2a

=-1，
故∠APB為直角．
綜上所述，∠APB為定值，且為直角．

點評：本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，同時考查了圓的方程與橢圓的方程的求法，難點在于確定判斷∠APB是否為定值的方向，可先討論特殊情況，從而轉(zhuǎn)化為常見問題，屬于難題．