Question

已知三棱錐A-BCD，平面α與棱AC、BC、BP、AD分別交于M、N、P、Q．
（1）若AB∥α，CD∥α，證明：四邊形MNPQ為平行四邊形；
（2）若四邊形MNPQ為平行四邊形，求證：AB∥α，CD∥α．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）運用直線與平面平行的性質定理，平行四邊形的定義判斷即可．
（2）四邊形MNPQ為平行四邊形得出QM∥PN，MN∥PQ，再運用直線與平面平行的判斷與性質證明即可．

解答： 證明：

（1）在三棱錐A-BCD，
平面α與棱AC、BC、BP、AD分別交于M、N、P、Q．
∵AB∥α，AB?面ACB，面ACB∩面MNPQ=MN
∴AB∥MN，
同理AB∥PQ，
即MN∥PQ，
∵CD∥α，CD?面ACD，面ACD∩面MNPQ=QM，
∴CD∥QM，
同理CD∥PN，
即QM∥PN，
∴四邊形MNPQ為平行四邊形；
（2）∵四邊形MNPQ為平行四邊形，
∴QM∥PN，MN∥PQ，
∵PN?面ADC，QM?面ADC，
∴PN∥面ADC，
∵PN?面BDC，面BDC∩面ADC=DC，
∴DC∥PN，
∵DC?面MNPQ，PN?面MNPQ，
∴CD∥面MNPQ，
即CD∥α．
同理：AB∥面MNPQ，
即：AB∥α

點評：本題考察了直線與平面平行的性質，判定定理，平行四邊形的性質，判定，綜合考察了空間的線面的平行問題．