Question

如圖，橢圓短軸的左右兩個端點分別為A，B，直線l：y=kx+1與x軸、y軸分別交于兩點E，F(xiàn)，與橢圓交于兩點C，D．
（Ⅰ）若，求直線l的方程；
（Ⅱ）設直線AD，CB的斜率分別為k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由得（4+k²）x²+2kx-3=0，再由判別式和根與系數(shù)的關系可推導出所求直線l的方程為2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（Ⅱ）由題設知y₁²=4（1-x₁²），y₂²=4（1-x₂²），由此推出3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，所以3k²-10k+3=0，由此可推導出k的值．
解答：解：（Ⅰ）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由得（4+k²）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（4+k²）=16k²+48，，，（2分）
由已知，
又，所以（4分）
所以，即，（5分）
所以，解得k=±2，（6分）
符合題意，
所以，所求直線l的方程為2x-y+1=0或2x+y-1=0．（7分）
（Ⅱ），，k₁：k₂=2：1，
所以，（8分）
平方得，（9分）
又，所以y₁²=4（1-x₁²），同理y₂²=4（1-x₂²），代入上式，
計算得，即3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，（12分）
所以3k²-10k+3=0，解得k=3或，（13分）
因為，x₁，x₂∈（-1，1），所以y₁，y₂異號，故舍去，
所以k=3．（14分）
點評：本題考查圓錐曲線的綜合運用，是歷年高考題的重要題型之一，解題時要注意計算能力的培養(yǎng)，注意積累解題方法．