Question

已知F₁、F₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且

MF1

•

MF2

的最大值為1，最小值為-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)(-

6

5

，0)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M，N兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)．試判斷∠MAN是否為直角，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)M（x'，y'），化簡(jiǎn)

MF1

•

MF2

=

a2-b2

a2

x'²+2b²-a²（-a≤x≤a），從而求最值，進(jìn)而求橢圓方程；
（2）設(shè)直線MN的方程為x=ky-6并與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求

AM

•

AN

的值，從而說(shuō)明是直角．

解答： 解：（1）設(shè)M（x'，y'），
則y'²=b²-

b2

a2

x'²，

MF1

•

MF2

=

a2-b2

a2

x'²+2b²-a²（-a≤x≤a），
則當(dāng)x'=0時(shí)，

MF1

•

MF2

取得最小值2b²-a²=-2，
當(dāng)x'=±a時(shí)，

MF1

•

MF2

取得最大值b²=1，
∴a²=4，
故橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)直線MN的方程為x=ky-

6

5

，
聯(lián)立方程組可得，

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

化簡(jiǎn)得：（k²+4）y²-2.4ky-

64

25

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

12k

5(k2+4)

，y₁y₂=-

64

25(k2+4)

，
又A（-2，0），

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（k²+1）y₁y₂+

4

5

k（y₁+y₂）+

16

25

=
=-（k²+1）

64

25(k2+4)

+

4

5

k

12k

5(k2+4)

+

16

25

=0，
所以∠MAN為直角．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了向量的應(yīng)用，屬于難題．