Question

設(shè)M，N分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁，AD的中點(diǎn)，試作出平面C₁MN與正方體的截面．

Answer 1

分析：取DD₁的中點(diǎn)G，再取GD的中點(diǎn)F，連AG、NF、C₁F，延長FN交A₁A的延長線于H，連HM交AB于點(diǎn)E，連結(jié)NE得到的五邊形C₁MENF．再根據(jù)平面的基本性質(zhì)和正方體的性質(zhì)加以證明，可得C₁、M、E、N、F共面，即得五邊形C₁MENF為所求作的截面．

解答：解：取DD₁中點(diǎn)G，再取GD的中點(diǎn)F，連結(jié)AG、NF、C₁F，延長FN交A₁A于點(diǎn)H，連結(jié)HM交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EN，
則五邊形C₁MENF就是所求的截面．
下面證明C₁、M、E、N、F共面，
∵G、M分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁、BB₁的中點(diǎn)，∴C₁M∥AG，
∵△ADG中，N、F分別為AD、DG的中點(diǎn)，
∴NF∥AG，可得C₁M∥NF，
由此可得C₁M與NF確定平面C₁MNF，
又∵H∈NF，NF?平面C₁MNF，∴H∈平面C₁MNF，
因此H、C₁、M、N、F共面，可得HM?平面C₁MNF，
∵E∈HM，HM?平面C₁MNF，
∴E∈平面C₁MNF，即C₁、M、E、N、F共面．

點(diǎn)評：本題給出正方體棱的中點(diǎn)，求作正方體的截面．著重考查了平面的基本性質(zhì)和正方體的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．