Question

在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+8sinθ．現(xiàn)以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若圓C上的動點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（x，y），求x+y的最大值，并寫出x+y取得最大值時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由ρ=6cosθ+8sinθ利用x=ρcosθ、y=ρsinθ把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并化簡．
（Ⅱ）由圓C的參數(shù)方程

x=3+5cosθ y=4+5sinθ

（θ為參數(shù)），可得x+y=7+5

2

sin（θ+

π

4

），由此求得x+y的最大值，以及x+y取得最大值時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ=6cosθ+8sinθ，得 ρ²=6ρcosθ+8ρsinθ，
所以圓C的直角坐標(biāo)方程為 x²+y²-6x-8y=0，
即 （x-3）²+（y-4）²=25．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得圓C的參數(shù)方程為

x=3+5cosθ y=4+5sinθ

（θ為參數(shù)）．
所以 x+y=7+5

2

sin（θ+

π

4

），
因此當(dāng)θ=2kπ+

π

4

，k∈z時(shí)，x+y取得最大值為7+5

2

，
且當(dāng)x+y取得最大值時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為 （3+

5 2

2

 4+

5 2

2

）．

點(diǎn)評：本小題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．