(本小題滿分12分)已知拋物線:
和點(diǎn)
,若拋物線
上存在不同兩點(diǎn)
、
滿足
.
(I)求實數(shù)的取值范圍;
(II)當(dāng)時,拋物線
上是否存在異于
的點(diǎn)
,使得經(jīng)過
三點(diǎn)的圓和拋物線
在點(diǎn)
處有相同的切線,若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
(1) 即的取值范圍為
.
(2) 滿足題設(shè)的點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為
.
【解析】
試題分析:解法1:(I)不妨設(shè)A,B
,且
,∵
,
∴.∴
,
.
根據(jù)基本不等式(當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號)得
(
),即
,
∴,即
的取值范圍為
.
(II)當(dāng)時,由(I求得
、
的坐標(biāo)分別為
、
.
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)
(
,且
),使得經(jīng)過
、
、
三點(diǎn)的圓和拋物線
在點(diǎn)
處有相同的切線.
設(shè)經(jīng)過、
、
三點(diǎn)的圓的方程為
,
則
整理得 . ①
∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為
,
∴拋物線在點(diǎn)
處的切線的斜率為
,
∴經(jīng)過、
、
三點(diǎn)的圓
在點(diǎn)
處的切線斜率為
.
∵,∴直線
的斜率存在.∵圓心
的坐標(biāo)為
,
∴,即
. ②
∵,由①、②消去
,得
. 即
.
∵,∴
.故滿足題設(shè)的點(diǎn)
存在,其坐標(biāo)為
.
解法2:(I)設(shè),
兩點(diǎn)的坐標(biāo)為
,且
。
∵,可得
為
的中點(diǎn),即
.
顯然直線與
軸不垂直,設(shè)直線
的方程為
,即
,將
代入
中,
得.∴
∴. 故
的取值范圍為
.
(II)當(dāng)時,由(1)求得
,
的坐標(biāo)分別為
.
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)
(
且
),使得經(jīng)過
、
、
三點(diǎn)的圓和拋物線
在點(diǎn)
處有相同的切線.
設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為,
∵ ∴
即 解得
∵拋物線在點(diǎn)
處切線的斜率為
,而
,且該切線與
垂直,
∴,即
.將
,
代入上式,得,即
.
∵且
,∴
.
故滿足題設(shè)的點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為
.
考點(diǎn):拋物線的性質(zhì)運(yùn)用
點(diǎn)評:解決該試題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程以及性質(zhì)來分析得到結(jié)論,同時對于探索性問題,一般先假設(shè),然后分析求解,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動經(jīng)濟(jì)增長,某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、
、
.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個項目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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