（本小題滿分12分）已知函數(shù) .

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：.

 

【答案】

（1）在單調遞增，在單調遞減.（2）；（3）見解析.

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。那么利用先求函數(shù)定義域，然后求解導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的正負判定函數(shù)的單調性

第二問中，當p=1時，f(x)《kx恒成立等價于1+lnx《kx,然后分離參數(shù)的思想得到k》(1+lnx)/x,構造函數(shù)得到參數(shù)k的范圍。

第三問中，要證明不等式成立，則需要分析由（2）知當k=1時，有f(x)《x，當x>>1時，f(x)《x即lnx<x-1，結合放縮法得到證明。

解：（1）的定義域為（0，+∞），

當時，＞0，故在（0，+∞）單調遞增；

當時，＜0，故在（0，+∞）單調遞減；……………2分

當-1＜＜0時，令=0，解得.

則當時，＞0；時，＜0.

故在單調遞增，在單調遞減. …………4分

（2）因為，所以

當時，恒成立

令，則,               ……………6分

因為，由得，

且當時，；當時，.

所以在上遞增，在上遞減.所以，

故                               ……………………8分

（3）由（2）知當時，有，當時，即，

令，則，即      …………10分

所以，，…，，

相加得

而

所以，.……………………12分

 

練習冊系列答案
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（文） （本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；
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（2011•自貢三模）（本小題滿分12分＞
設平面直角坐標中，O為原點，N為動點，|
ON
|=6，
ON
=
5
•
OM
．過點M作MM1丄y軸于M1，過N作NN1⊥x軸于點N1，
OT
=
M1M
+
N1N
，記點T的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程：
（H）已知直線L與雙曲線C：5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第-象限）．線段OP交軌跡C于A，若
OP
=3
OA
，S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程．

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（2009湖南卷文）（本小題滿分12分）

為拉動經濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎設施工程、民生工程和產業(yè)建設工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設.求：

（I）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.

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某民營企業(yè)生產A，B兩種產品，根據(jù)市場調查和預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2，

（注：利潤與投資單位是萬元）

（1）分別將A，B兩種產品的利潤表示為投資的函數(shù)，并寫出它們的函數(shù)關系式.（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入到A，B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元.

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