Question

(本小題滿分12分)

已知點(diǎn)是區(qū)域,()內(nèi)的點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)，的最大值記作.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，,且點(diǎn)（）在直線上.

（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）∴

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)當(dāng)直線過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故

進(jìn)而得到的關(guān)系式，然后利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系得到證明。

（2）由（Ⅰ）得，∴，根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，分組求和得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）由已知當(dāng)直線過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故

∴方程為

∵（）在直線上， 

∴ ①

∴  ②

由①-②得，       ∴，

 ∴

∵，     ∴數(shù)列以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴

∵，   ∴

∴

考點(diǎn)：本試題主要考查了等比數(shù)列的定義和數(shù)列的求和的綜合運(yùn)用。

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是分析出線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，然后得到，然后得到。