Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+(cosA-

3

sinA)cosB=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=2，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知等式左邊第一項利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，第二項去括號整理后，根據(jù)sinA不為0，求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，利用完全平方公式變形后，將a+c以及cosB的值代入，用a表示出c代入得到的關(guān)系式中，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出b²的范圍，即可確定出b的范圍．

解答：解：（1）由已知變形得：-cos（A+B）+cosAcosB-

3

sinAcosB=0，
即有sinAsinB-

3

sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴sinB-

3

cosB=0，
又cosB≠0，
∴tanB=

3

，
又0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（2）由余弦定理，有b²=a²+c²-2accosB，
∵a+c=2，cosB=

1

2

，
∴b²=（a+c）²-3ac=4-3ac=4-3a（2-a）=3a²-6a+4=3（a-1）²+1，
又0＜a＜2，
∴1≤b²＜4，
則1≤b＜2．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及完全平方公式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．