Question

【題目】已知橢圓的長軸長為，焦距為2，拋物線的準線經過C的左焦點F.

（1）求C與M的方程；

（2）直線l經過C的上頂點且l與M交于P，Q兩點，直線FP，FQ與M分別交于點D（異于點P），E（異于點Q），證明:直線DE的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）C：，M：（2）證明見解析

【解析】

（1）由題意可得，的值，運用，求得，可得橢圓的方程，由的準線經過點，求得，即可得解的方程；

（2）設直線的方程為，聯立直線與拋物線的方程，設，，運用韋達定理得之間的關系，再聯立直線與拋物線的方程解得的坐標，同理可得出的坐標，代入兩點間斜率計算公式即可得結果.

（1）由題意，得，，所以，，

所以，所以C的方程為，

所以，由于M的準線經過點F，

所以，所以，故M的方程為.

（2）證明:由題意知，l的斜率存在，故設直線l的方程為，

由，得.

設，，

則，即且，，.

又直線FP的方程為，

由，得，

所以，所以，從而D的坐標為.

同理可得E的坐標為，

所以為定值.