Question

已知函數f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如：[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.2]=2．若x∈[0，n]（n∈N^*），則f（x）的值域中元素個數為

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：壓軸題,新定義

分析：先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數，進而得到結論．

解答： 解：根據題意：
[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) … n-1，x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0，x∈[0，1) x，x∈[1，2) … (n-1)x，x∈[，n-1，n)

∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數是：1，1，2，…，n-1
∵函數f（x）的值域為A，
∴集合A中的元素個數為1+1+2+…+n-1=

n2-n+2

2

故答案為：

n2-n+2

2

點評：本題主要通過取整函數來建立新函數，進而研究其定義域和值域，屬于中檔題．