Question

已知函數(shù)y=f（x）對任意x∈R有f（x+1）=-

1

f(x)

，且當x∈[-1，1]時，f（x）=x²+1，則以下命題正確的是：
①函數(shù)y=f（x）是周期為2的偶函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）在[2，3]單調(diào)遞增；
③函數(shù)y=f（x）+

4

f(x)

的最大值是4；
④若關于x的方程[f（x）]²-f（x）-m=0有實根，則實數(shù)m的范圍是[0，2]；
⑤當x₁，x₂∈[1，3]時，f（

x1+x2

2

）≥

f(x1)+f(x2)

2

．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)的定義和周期函數(shù)的定義，可以得出①正確，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的周期性可以得到②正確，取x=0，y=5＞4，故③錯誤，利用換元法，求出的a的值域即可，即可判斷④正確，取x₁=-1，x₂=1，可得⑤錯誤．

解答： 解：對于①，f（x+2）=-

1

f(x+1)

=f（x），故函數(shù)y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，f（-x）=（-x）²+1=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)，故①正確；
對于②，∵當x∈[-1，1]時，f（x）=x²+1，∴f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，因為函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，故函數(shù)y=f（x）在[2，3]單調(diào)遞增，故②正確；
對于③，∵當x∈[-1，1]時，1≤x²+1≤2，y=f（x）+

4

f(x)

≥2

4

=4，故最小值為4，x=0時，f（x）=1，y=f（x）+

4

f(x)

=1+4=5＞4，故③錯誤；
對于④，設f（x）=x²+1=t，則1≤t≤2，∵[f（x）]²-f（x）-m=0，即t²-t-m=0，則m=t²-t，∴0≤m≤2，即數(shù)m的范圍是[0，2]，故④正確；
對于⑤，因為函數(shù)f（x）為周期為2的周期函數(shù)，故x₁，x₂∈[1，3]時，即x₁，x₂∈[-1，1]時，當x₁=-1，x₂=1時，f（

x1+x2

2

）=f（0）=1，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

（2+2）=2，故⑤錯誤．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，函數(shù)的值域，屬于基礎題．