Question

已知函數(shù)令.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（Ⅲ）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）     

由得又所以．所以的單增區(qū)間為.                                                         

（Ⅱ）方法一：令

所以．

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，所以，所以在上是遞增函數(shù)，

又因?yàn)?sub>所以關(guān)于的不等式不能恒成立．                         

當(dāng)時(shí)，．

令得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．

故函數(shù)的最大值為               …………8分

令因?yàn)?sub>

又因?yàn)?sub>在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，．

所以整數(shù)的最小值為．                                  ……………10分

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立．

問題等價(jià)于在上恒成立．

令，只要．                  ……………………6分

因?yàn)?sub>令得．

設(shè)，因?yàn)?sub>，所以在上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)的根為．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

所以在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．

所以．       

因?yàn)?sub>

所以此時(shí)所以即整數(shù)的最小值為2 

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，

由即

從而              

令則由得，

可知在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。所以

所以即成立．