Question

已知函數f（x）的定義域為[-1，1]，若對于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0．
（1）證明：f（x）為奇函數；
（2）證明：f（x）在[-1，1]為單調遞增函數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數奇偶性的判斷

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先利用特殊值法，求證f（0）=0，令y=-x即可求證；（2）由（1）得f（x）為奇函數，f（-x）=-f（x），利用定義法進行證明；

解答： 解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數
（2）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數；
令-1≤x₁＜x₂≤1，
則有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上為單調遞增函數；

點評：考查抽象函數及其應用，以及利用函數單調性的定義判斷函數的單調性，并根據函數的單調性解函數值不等式，體現了轉化的思想，在轉化過程中一定注意函數的定義域．