Question

設函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x²-2x-

2

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；
（2）當x∈[-1，1]時，f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）恒成立問題可轉(zhuǎn)化成f（x）_max＜m即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-x-2=0，得x=1，-

2

3

．
在（-∞，-

2

3

）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
在（-

2

3

，1）上f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
所以所求f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

2

3

]和[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[-

2

3

，1]．
（2）由（1）知，當x∈[-1，-

2

3

]時，f′（x）＞0，[-

2

3

，1]時，f′（x）＜0
∴f（x）≤f（-

2

3

）=

4

27

．
∵當x∈[-1，1]時，f（x）＜m恒成立，
∴m＞

4

27

．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了恒成立問題的處理，注意利用好導數(shù)工具．