已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，y軸右側(cè)的點(diǎn)A在橢圓E上運(yùn)動(dòng)，直線MA與圓C：x2+y2=b2相切于點(diǎn)M（x0，y0）．
（1）求直線MA的方程；
（2）求證：|AF|+|AM|為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由直線MA與OM垂直，得直線MA的斜率kMA=-
x0
y0
，由此能求出直線MA的方程．
（2）|AM|=
OA2-OM2
=
x2+y2-b2
=
x2-(
b
a
)2x2
=
cx
a
，|AF|=
(x-c)2+y2
=a-
c
a
x，由此能證明|AM|+|AF|=
cx
a
+a-
cx
a
=a為定值．
解答： （1）解：∵直線MA與圓C：x2+y2=b2相切于點(diǎn)M（x0，y0），
∴直線MA與OM垂直，
∵kOM=
y0
x0
，∴直線MA的斜率kMA=-
x0
y0
，
∴直線MA的方程：y-y0=-
x0
y0
（x-x0），
整理，得x0x+y0y=b2．
（2）|AM|=
OA2-OM2
=
x2+y2-b2
=
x2-(
b
a
)2x2
=
cx
a
，
|AF|=
(x-c)2+y2
=
(x-c)2+b2-(
b
a
)2x2

=
x2-2cx+c2+b2-(
b
a
)2x2

=
x2-2cx+a2-(
b
a
)2x2

=
(
c
a
)2x2-2cx+a2
=
c
a
|x-
a2
c
|=a-
c
a
x，
∴|AM|+|AF|=
cx
a
+a-
cx
a
=a．
∴AF|+|AM|為定值a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查兩線段和為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某中學(xué)對(duì)高二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行加強(qiáng)語(yǔ)文閱讀理解訓(xùn)練對(duì)提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率作用的試驗(yàn)，其中甲班為實(shí)驗(yàn)班（常規(guī)教學(xué)，無(wú)額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用試題測(cè)試的平均成績(jī)（均取整數(shù)）如表所示：
60分以下61-70分71-80分81-90分91-100分
甲班（人數(shù)）36111812
乙班（人數(shù)）39131510
現(xiàn)規(guī)定平均成績(jī)?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀．
（1）試分析估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；
（2）由以上統(tǒng)計(jì)列出2×2列聯(lián)表．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知角α的終邊在第二象限，且與單位圓交于點(diǎn)P（m，
15
4
）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）求
sin(α+
π
4
)
sin(π+2α)-sin(
3π
2
-2α)+1
的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e為
3
5
，且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=-12x的焦點(diǎn)重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（2，0），點(diǎn)Q是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)|MQ|最小時(shí)，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（m，0）為橢圓C長(zhǎng)軸（含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)斜率為k的直線l交橢圓與A，B兩點(diǎn)，若|PA|2+|PB|2的值僅依賴于k而與m無(wú)關(guān)，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-
1
2
x2-2x-
2
3
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（0，-2
2
），F(xiàn)2（0，2
2
），離心率e=
2
2
3

（1）求橢圓方程；
（2）斜率為-9的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-
1
2
，求直線l方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某廠生產(chǎn)新產(chǎn)品需一種新零件，可外購(gòu)也可自產(chǎn)，如果外購(gòu)每個(gè)價(jià)格為1.10元，如果自產(chǎn)固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)這種零件的每個(gè)材料費(fèi)和勞力費(fèi)等支出合計(jì)0.06元，試決定該廠自產(chǎn)還是外購(gòu)這種零件？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若對(duì)于?x∈R使得丨x-2a丨+x＞3恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

化簡(jiǎn)：
AB
-
AC
-
DB
=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案