Question

設(shè)（5x-

1

x

）ⁿ的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=56，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：通過給二項(xiàng)式中的x賦值1求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)和；利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出二項(xiàng)式系數(shù)和，代入M-N=56求出n；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，求出常數(shù)項(xiàng)．

解答： 解：令二項(xiàng)式中的x為1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為M=4ⁿ，
二項(xiàng)式系數(shù)和為N=2ⁿ，
由M-N=56，得n=3，
∴（5x-

1

x

）ⁿ=（5x-

1

x

）³
其展開式的通項(xiàng)為 T_r+1=（-1）^r5^3-r

C

r 3

x3-

3r

2

令3-

3r

2

=0得r=2代入通項(xiàng)，
解得常數(shù)項(xiàng)為15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和問題常用賦值法、考查二項(xiàng)式系數(shù)和公式、考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．