Question

（本小題共13分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)M（-3，0）作一條斜率大于0的直線與W交于不同的兩點(diǎn)A、B，延長(zhǎng)BF交W于點(diǎn)C.

（1）求橢圓W的離心率；

（2）求證：點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于軸對(duì)稱.

Answer 1

（1）;（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓方程中的關(guān)系可得，解得，可求離心率；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到（），坐標(biāo)間關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，可判斷三點(diǎn)共線，即點(diǎn)與重合，可證得結(jié)論成立.

試題解析：（1）由題意，

解得.

所以橢圓.

離心率.（5分）

（2）設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立

得.

由直線與橢圓W交于A、B兩點(diǎn)，可知

△，解得.

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（），，

則，，

.

因?yàn)镕（-2，0），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，則C′（），

所以，.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061706040437605449/SYS201506170604098919273224_DA/SYS201506170604098919273224_DA.032.png">

，

所以B，F(xiàn)，C′共線，從而C與C′重合，故點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于軸對(duì)稱.（13分）

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓位置關(guān)系.