Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）對(duì)一切正整數(shù)n成立
（1）證明：數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）由已知得S_n=2a_n-3n，S_n+1=2a_n+1-3（n+1），兩式相減得：a_n+1=2a_n+3，由此能夠證明數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列．
（2）、數(shù)列{a_n+3}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）對(duì)一切正整數(shù)n成立
∴S_n=2a_n-3n，S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
兩式相減得：a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴

an+1+3

an+3

=2，
∴數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列．
（2）∵

an+1+3

an+3

=2，a_n=

1

2

（3n+S_n），
∴a1=

1

2

(3+a1)，解得a₁=3，
∴a₁+3=6，
∴數(shù)列{a_n+3}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列a_n+3=6•2^n-1，
故a_n=3（2ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．