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20.在極坐標(biāo)系中,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin(\frac{π}{4}-θ)=2\sqrt{2},以極點(diǎn)O為原點(diǎn),極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C2的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosθ}\\{y=4+5sinθ}\end{array}\right. (θ為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)系方程和曲線C2的普通方程;
(2)若曲線C1、C2交于A、B兩點(diǎn),D為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn),求S△DAB的最大值.

分析 (1)利用ρcosθ=x,ρsinθ=y進(jìn)行代換即得曲線C1的直角坐標(biāo)系方程;利用sin2θ+cos2θ=1消去參數(shù)可得曲線C2的普通方程.
(2)聯(lián)立方程組求解A,B坐標(biāo),可得|AB|的長度,高最大值時(shí),可得S△DAB的最大值.高最大值為d+r(圓心到直線的距離)

解答 解:(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin(\frac{π}{4}-θ)=2\sqrt{2},
可得:ρcosθsin\frac{π}{4}-ρsinθcos\frac{π}{4}=2\sqrt{2}
根據(jù)ρcosθ=x,ρsinθ=y可得:x-y=4.
即曲線C1的直角坐標(biāo)系方程為:x-y=4.
曲線C2的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosθ}\\{y=4+5sinθ}\end{array}\right. (θ為參數(shù)).則5cosθ=x-3,5sinθ=y-4
∵sin2θ+cos2θ=1
∴(x-3)2+(y-4)2=25,
故得曲線C2的普通方程為(x-3)2+(y-4)2=25.圓心為(3,4),半徑r=5
(2)曲線C1、C2交于A、B兩點(diǎn),
聯(lián)立方程組:\left\{\begin{array}{l}{(x-3)^2+(y-4)^2=25}\\{x-y=4}\end{array}\right.,消去y可得x2-11x+24=0
那么:x1+x2=11,x1x2=24
可得弦長|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k}}×\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=5\sqrt{2}
高最大值時(shí),可得S△DAB的最大值.
圓心到直線的距離d=\frac{|3-4-4|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}
則高最大值為d+r,即\frac{5\sqrt{2}+10}{2}
∴S△DAB的最大值值為:\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{2}+10}{2}×5\sqrt{2}=\frac{25+25\sqrt{2}}{2}

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化,以及應(yīng)用,考查了弦長公式,點(diǎn)到直線的距離公式.屬于中檔題.

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