Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．稱圓心在原點O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為F（

2

，0），其短軸上的一個端點到點F的距離為

3

．
（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
（2）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可得，c=

2

，a=

3

，則b²=a²-c²=1，從而得到橢圓方程和其“準圓”方程；
（2）討論當P在直線x=±

3

上時，顯然不垂直；當P不在直線x=±

3

上時，設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到關于x的方程，運用判別式為0，化簡整理，得到關于k的方程，求出兩根之積，判斷是否為-1，即可判斷
l₁，l₂垂直．

解答： 解：（1）由題意可得，c=

2

，

b2+c2

=a=

3

，
則b²=a²-c²=1，
則橢圓C的方程為

x2

3

+y²=1．
其“準圓”方程為x²+y²=4．
（2）①設P（±

3

，±1），則過P的直線l₁：x=±

3

，
則l₂的斜率k≠0，即它們不垂直；
②設P（m，n）（m≠±

3

），m²+n²=4，過P的直線為y-n=k（x-m），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到
（1+3k²）x²+6k（n-km）x+3（n-km）²-3=0，
由于直線與橢圓C都只有一個交點，則△=0，
即36k²（n-km）²-4（1+3k²）•3[（n-km）²-1]=0，
化簡得，（3-m²）k²+2kmn+1-n²=0，
k₁k₂=

1-n2

3-m2

=

1-(4-m2)

3-m2

=-1．
即l₁，l₂垂直．
綜上，當P在直線x=±

3

上時，l₁，l₂不垂直；
當P不在直線x=±

3

上時，l₁，l₂垂直．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了兩直線的位置關系，直線和橢圓的位置關系，方法是聯(lián)立直線和圓橢圓方程，利用整理后的一元二次方程的判別式求解．此題屬中檔題．