Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的方程為C：x2=4y，過(guò)點(diǎn)Q（0，2）的一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，若拋物線(xiàn)在A，B兩點(diǎn)的切線(xiàn)交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)AB的夾角為α，求α的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由AB直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)可知，直線(xiàn)AB不與x軸垂直，故可設(shè)lAB：y=kx+2，

則 ，整理得：x2﹣4ky﹣8=0…①，

△=16k2+32＞0，故k∈R時(shí)均滿(mǎn)足題目要求．

設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則x1，x2為方程①的兩根，

故由韋達(dá)定理可知，x1+x2=4k，x1x2=﹣8．

將拋物線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為 ，則 ，故A點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為 ，

整理得 ，

同理可得，B點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為 ，記兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)P（xp，yp），

聯(lián)立兩條切線(xiàn)的方程，解得點(diǎn)P坐標(biāo)為 ，

故點(diǎn)P的軌跡方程為y=﹣2，x∈R

（2）

解：當(dāng)k=0時(shí)，xP=0，yP=﹣2，此時(shí)直線(xiàn)PQ即為y軸，與直線(xiàn)AB的夾角為 ．

當(dāng)k≠0時(shí)，記直線(xiàn)PQ的斜率 ，

又由于直線(xiàn)AB的斜率為k，且已知直線(xiàn)AB與直線(xiàn)PQ所夾角α∈[0， ]，

tanα=丨 丨=丨 丨= +丨k丨≥2 ，

則a∈[arctan2 ， ）

綜上所述，α的取值范圍是∈[arctan2 ， ]

【解析】（1）將直線(xiàn)AB的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求得切線(xiàn)方程，聯(lián)立即可求得點(diǎn)P的軌跡方程；（2）分類(lèi)討論，根據(jù)直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得tanα取值范圍，即可求得α的取值范圍．