Question

已知函數(shù)f（x）=2^x
（1）試求函數(shù)F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x）|＞1成立，試求a的取值范圍；
（3）當a＞0，且x∈[0，15]時，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把f（x）代入到F（x）中化簡得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；
（2）可設2^x=t，存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1，討論求出解集，讓a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范圍；
（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立即為恒成立即要，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出最值即可列出關(guān)于a的不等式，求出解集即可．
解答：解：（1）
（2）令2^x=t，則存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t²-at＞1或t²-at＜-1
即存在t∈（0，1）使得
∴a＜0或a≥2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²恒成立
因為a＞0，且x∈[0，15]，所以問題即為恒成立
∴
設m（x）=令
∴
所以，當t=1時，m（x）_max=1∴a≥1
點評：考查學生利用整體代換的數(shù)學思想解決數(shù)學問題的能力，以及不等式恒成立的證明方法．