Question

已知圓C：

x=2+2cosθ y=2sinθ

(θ為參數(shù))，直線l：

x=2+ 4 5 t y= 3 5 t

(t為參數(shù))
（Ⅰ）求圓C的普通方程．若以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，寫出圓C的極坐標(biāo)方程．
（ II）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；若相交，請(qǐng)求出弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）消去θ，得出圓C的普通方程為（x-2）²+y²=4，再化為極坐標(biāo)方程即可．
（II）直線l的參數(shù)方程

x=2+ 4 5 t y= 3 5 t

，消去t得普通方程為3x-4y-6=0．利用直線和圓的位置關(guān)系判斷并求解．

解答：解：（Ⅰ）圓C：

x=2+2cosθ y=2sinθ

(θ為參數(shù))即為C：

x-2=2cosθ    ① y=2sinθ        ②

①²+②²，消去θ，得出圓C的普通方程為
（x-2）²+y²=4---------（2分）
以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為
（ρcosθ-2）2+ρ²sinθ=4
化簡(jiǎn)整理得
ρ=4cosθ---------------（5分）
（ II）直線和圓相交．
直線l：

x=2+ 4 5 t y= 3 5 t

(t為參數(shù))消去t得普通方程為3x-4y-6=0．
解法一：由于直線l過(guò)圓心（2，0），-----------（6分）
所以直線與圓相交-----------------------------（8分）
弦長(zhǎng)為4-------------------------------------------（10分）
解法二：l：3x-4y-6=0-----------（6分）
圓心到直線的距離d=

|6-6|

32+(-4)2

=0＜r，所以直線與圓相交-------------（8分）
由于直線l過(guò)圓心（2，0），所以弦長(zhǎng)為4-------------------------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查把極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化，直線和圓的位置關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．