Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），
（1）求證數(shù)列{a_n+2}為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項(xiàng)和，求證：Tn≥

1

2

．

Answer 1

分析：（1）令n=1，由S_n=2a_n-2n可得a₁=2，再由s_n+1=2a_n+1-2（n+1），相減后化簡(jiǎn)可得 a_n+1+2=2（a_n +2 ），可得數(shù)列{a_n+2}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，a_n +2=4×2^n-1，由此求得b_n=n+1，故

bn

an+2

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

，再用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項(xiàng)和T_n的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）令n=1，由S_n=2a_n-2n可得a₁=2．
再由S_n=2a_n-2n（n∈N₊），可得 s_n+1=2a_n+1-2（n+1），
∴s_n+1-S_n =2a_n+1-2a_n-2，即 a_n+1=2a_n +2，故有 a_n+1+2=2（a_n +2 ），
故數(shù)列{a_n+2}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，a_n +2=4×2^n-1，∴b_n=log₂（a_n+2）=log₂（4×2^n-1 ）=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

．
∴數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項(xiàng)和T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

 ①，
∴

1

2

 T_n=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n+1

2n+2

  ②，
①-②可得

1

2

 T_n=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

+

n-1

2n+2

，
故T_n=

3

2

+

n-1

2n+1

，顯然滿足 Tn≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比關(guān)系的確定，用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．