Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF=6．
（Ⅰ）求證：AC⊥BE
（Ⅱ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根據(jù)DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，從而可得AC⊥BE；
（II）證明AB⊥平面ADEF，BC⊥平面CDE，利用V=V_B-ADEF+V_E-BCD，求出多面體ABCDEF的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又∵BD、DE是平面BDE內的相交直線，
∴AC⊥平面BDE，結合BE?平面BDE，得AC⊥BE；
（Ⅱ）解：∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，
∴AB⊥平面ADEF，
同理BC⊥平面CDE，
∵AF∥DE，DE=DA=3AF=6，
∴V=V_B-ADEF+V_E-BCD=

1

3

×

1

2

×(2+6)×6×6+

1

3

×6×

6×6

2

=84-----------（12分）

點評：本題給出四棱錐的一條側棱與底面垂直且底面是正方形，求證線線垂直并求多面體ABCDEF的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．