Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過定點(diǎn)C（p，0）作直線m與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（I）設(shè)N（-p，0），求的最小值；
（II）是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達(dá)出兩個(gè)向量的數(shù)量積．
（Ⅱ）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，再利用弦長(zhǎng)公式，求出a，p的關(guān)系式，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（I）依題意，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：x=my+p
由⇒y²-2pmy-2p²=0（2分）∴
當(dāng)m=0時(shí)的最小值為2p²．（7分）
（II）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，AC的中點(diǎn)為o′，l與以AC為直徑的圓
相交于P，Q，PQ中點(diǎn)為H，則o′H⊥PQ，o′的坐標(biāo)為．∵（9分）
∴（13分）
令=0得．此時(shí)|PQ|=p為定值．故滿足條件的直線l存在，
其方程為x=（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查弦長(zhǎng)的計(jì)算和直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意方程思想和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．