已知函數(shù)f(x)=ax-ex(a>0).
(Ⅰ)若a=1,求函數(shù)f(x)在[m,m+l]上的最大值;
(Ⅱ)當1≤a≤e+1時,求證:f(x)≤x.
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
專題:導數(shù)的概念及應用
分析:(Ⅰ)a=1時,f(x)=x-ex,得f′(x)=1-ex,從而f(x)在(-∞,0)遞增,在(0,+∞)遞減,討論m≥0時,m≤-1時,-1<m<0時的情況,綜合得出函數(shù)的最大值,
(Ⅱ)令g(a)=x-f(x)=-ax+x+ex,只需證明g(a)≥0在1≤a≤e+1時恒成立,得g(1)=-x+x+ex=ex>0①,和g(1+e)≥0②,由①②得,g(a)≥0在a∈[1,e+1]時恒成立.
解答: 解:(Ⅰ)a=1時,f(x)=x-ex,
∴f′(x)=1-ex
令f′(x)>0,解得:x<0,
令f′(x)<0,解得:x>0,
∴f(x)在(-∞,0)遞增,在(0,+∞)遞減,
m≥0時,f(x)在[m,m+1]遞減,f(x)max=f(m)=m-em,
m≤-1時,f(x)在[m,m+1]遞增,f(x)max=f(m+1)=m+1-em+1,
-1<m<0時,f(x)在[m,0]遞增,在[0,m+1]遞減,f(x)max=f(0)=-1,
綜上f(x)max=
m+1-em+1,  m≤-1
-1,                    -1<m<0
m-em,            m≥0

(Ⅱ)令g(a)=x-f(x)=-ax+x+ex,
只需證明g(a)≥0在1≤a≤e+1時恒成立,
g(1)=-x+x+ex=ex>0①,
g(1+e)=-x(1+e)+x+ex=ex-ex,
設h(x)=ex-ex,則h′(x)=ex-e,
x<1時,h′(x)<0,x>1時,h′(x)>0,
∴h(x)在(-∞,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
∴h(x)≥h(1)=e-e=0,即g(1+e)≥0②,
由①②得,g(a)≥0在a∈[1,e+1]時恒成立,
故當1≤a≤e+1時,f(x)≤x.
點評:本題考查了函數(shù)的單調性,函數(shù)的最值問題,導數(shù)的應用,考察分類討論思想,是一道綜合題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知|
a
|=1,|
b
|=2.
(Ⅰ)若
a
b
,求
a
b

(Ⅱ)若
a
-
b
c
垂直,求當k為何值時,(k
a
-
b
)⊥(
a
+2
b
).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若正數(shù)項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足
Sn+1
=
Sn
+1,其中首項a1=1.
(1)求a2,a3及數(shù)列{an}的通項公式an
(2)設bn=
1
anan+1
,Tn表示數(shù)列{bn}的前項和,若對任意的n∈N*,不等式λTn<n+8×(-1)n恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一次考試中,五名學生的數(shù)學、物理成績如下表
學生A1A2A3A4A5
數(shù)學8991939597
物理8789899293
(1)要在這五名學生中選2名參加一項活動,求選中的同學中至少有一人的物理成績高于90分的概率.
(2)請在所給的直角坐標系中畫出它們的散點圖,并求出這些數(shù)據(jù)的線性回歸直線方程.
參考公式回歸直線的方程是:y=bx+a,
其中對應的回歸估計值.b=b=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)
2
,a=
.
y
-b
.
x

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

解不等式:
a2-x2
>2x-a.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法總數(shù):
(1)全體排成一行,其中甲只能在中間或者兩邊位置;
(2)全體排成一行,男生不能排在一起;
(3)全體排成一行,甲、乙兩人中間必須有3人;
(4)全體排成一行,其中甲不在最左邊,乙不在最右邊.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓P的中心O在坐標原點,焦點在x軸上,且經(jīng)過點A(0,2
3
),離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓P的方程;
(Ⅱ)是否存在過點E(0,-4)的直線l交橢圓P于點R、T,且滿足
OR
OT
=8,若存在,求直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=0,其前n項和Sn滿足:Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1-3(n≥3)
(1)試求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出定義:若n-0.5<x≤n+0.5(其中n為整數(shù)),則n叫做實數(shù)x的“友好整數(shù)”,記作{x},即{x}=n,在此基礎上給出下列關于函數(shù)f(x)=x-{x}的四個命題;
①f(2.4)=-0.6;
②f(-
1
2
)>f(
1
3
);
③f(-
1
4
)×f(
1
4
)=f(-
1
16
);
④y=f(x)的定義域為R,值域是[-
1
2
,
1
2
];
則其中真命題的序號是
 

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