Question

已知拋物線C：y²=4x，直線l過點（0，1）．
（1）若k=4，求拋物線到直線l距離最近的點的坐標；
（2）若直線l與拋物線C相交于A、B兩點，且OA⊥OB，求直線l的斜率k的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）先設直線y=x+t是拋物線的切線，最小距離是兩直線之間的距離，于拋物線方程聯(lián)立消去y，再根據(jù)判別式等于0求得t，代入方程求得x，進而求得y，答案可得．
（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即可求解．

解答： 解：（1）設直線y=4x+t是拋物線的切線，最小距離是兩直線之間的距離，
代入化簡得16x²+（8t-4）x+t²=0
由△=0得t=

1

4

，
代入方程得x=

1

16

，y=4×

1

16

+1=

5

4

∴P為（

1

4

，

5

4

）
故答案為（

1

4

，

5

4

）．
（2）根據(jù)題意可得；直線l的斜率存在且不為0，
直線l方程為：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程得：

y=kx+1 y2=4x

消去y得k²x²+（2k-4）x+1=0，
∴x₁x₂=

1

k2

，y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=

4

k

，
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

1

k2

+

4

k

=0，k=-

1

4

，
故直線l的斜率k的值為-

1

4

．

點評：本題主要考查拋物線的應用和拋物線與直線的關系．考查了學生綜合分析和解決問題的能力．屬于綜合題．