在我國西部某一地區(qū)，有四個農(nóng)莊A、B、C、D恰好座落在邊長為2km的正方形的頂點上．為發(fā)展經(jīng)濟，政府決定建立一個使得任何兩個農(nóng)莊都有通道的道路網(wǎng)，道路網(wǎng)由一條中心道及四條支道組成(如圖中所示的實線)，要求四條支道的長度相等．

　　

(Ⅰ)若道路網(wǎng)總長不超過5.5km，試求中心道長的取值范圍；

(Ⅱ)問中心道長為何值時，道路網(wǎng)總長度最短？

答案：
解析：

解：設(shè)中心道的長度為2xkm．

(Ⅰ)依題意得

　　2x＋4≤5.5，

　　化簡得－40x＋7≤0，

　　解得．

　　∴中心道長取值范圍為[](單位：km)．

(Ⅱ)設(shè)道路網(wǎng)的總長度為y km，

　　則y＝2x＋4

　　　　＝2x＋4

　　即

　　化簡得①

　　∵ x∈，∴Δ＝≥0

　　即－4y－8≥0

　　∵y＞0，∴y≥2＋2．

　　將y的最小值2＋2代入方程①，方程①有等根，

　　此時x＝．

　　∴中心道長為(2－)km時，道路網(wǎng)總長最短．


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